Giải bài tập 3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:
a) $y = - {x^3} + 2{x^2} - 3$

b) $y = {x^4} + 2{x^2} + 5$

c) $y = \frac{{3x + 1}}{{2 - x}}$

d) $y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' =  - 3{x^2} + 4x$.

Nhận xét $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{4}{3}} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 4{x^3} + 4x$.

Nhận xét $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; 0} \right)$.

c) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{5}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}$.

Nhận xét $y' > 0{\rm{ }}\forall x \in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

d) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Nhận xét $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 \\x =  - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 3 } \right)$ và $\left( { - 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1 - \sqrt 3 ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; - 1 + \sqrt 3 } \right)$.