Giải bài tập 14 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {91;75;0} \right)\) hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).

a) Xác định toạ độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

b) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.

c) Xác định toạ độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d đi qua điểm A(-688;-185;8), có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {91;75;0} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 688 + 91t\\y =  - 185 + 75t\\z = 8\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Vì B thuộc d nên B(-688+91t; -185+75t;8).

Để B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa thì \(OB = 417\).

Do đó, \(\sqrt {{{\left( { - 688 + 91t} \right)}^2} + {{\left( { - 185 + 75t} \right)}^2} + {8^2}}  = 417\)

\( \Leftrightarrow 13\;906{t^2} - 152\;966t + 333\;744 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) hoặc \(t = 8\)

Với \(t = 3\) ta có B(-415; 40; 8) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 415 + 688} \right)}^2} + {{\left( {40 + 185} \right)}^2}}  = \sqrt {125\;154} \)

Với \(t = 8\) ta có B(40; 415; 8) và \(AB = \sqrt {{{\left( {40 + 688} \right)}^2} + {{\left( {415 + 185} \right)}^2}}  = \sqrt {889\;984} \)

Vì \(\sqrt {125\;154}  < \sqrt {889\;984} \) nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là (-415; 40; 8).

b) Gọi H là vị trí mà máy bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Vì H thuộc d nên H(-688+91t’; -185+75t’;8).

Để OH là ngắn nhất khi và chỉ khi \(OH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {OH}  \bot \overrightarrow u  \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} .\overrightarrow u  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - 688 + 91t'} \right).91 + \left( { - 185 + 75t'} \right).75 + 8.0 = 0 \Leftrightarrow 13\;906t' - 76\;483 = 0 \Leftrightarrow t' = \frac{{11}}{2}\)

Do đó, \(H\left( {\frac{{ - 375}}{2};\frac{{455}}{2};8} \right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

\(OH = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}}  = \frac{{\sqrt {347\;906} }}{2}\left( {km} \right)\)

c) Theo a ta có: tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là: (40; 415; 8).