Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: \(D = R\backslash \{  - \frac{1}{2}\} \)

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = \frac{1}{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \infty \)

Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: \({y^\prime } = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\forall x \in R\)

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: \(x =  - \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\)

Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)

Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

b)

- Tập xác định: \(D = R\backslash \{  - 2\} \)

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1\)

Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} =  - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - \infty \)

Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} =  - 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - 10}}{{{{(2x + 4)}^2}}} < 0\forall x \in R\)

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: \(x =  - 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - 1\)

Giao với trục Oy tại điểm (0,\(\frac{1}{4}\))

Giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{1}{2}\),0)