Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)

b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)

c)\(y =  - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

d)\(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \]

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x + 1) + 0 =  - \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của hàm số

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x =  - 2\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} =  - 2\)

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng \({\rm{x}} =  - 1\), tiệm cận xiên \(y = x + 1\)

Giao điểm với trục Oy là \((0,2)\)

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0\) _nên \(y = x\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\))

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty \)

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) _nên \(y =  - x - 1\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} \({y^\prime } =  - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),-1).và (-1, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

d)

- Tập xác định: D = R \ {1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0\) _nên \(y =  - 2x - 1\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} \({y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 2\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),0) và (2, \(\infty \)), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} =  - 7\)

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.

Giao điểm với trục Oy là (0,1)