Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$

b) ${\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}$

c)$y =  - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$

d)$y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty$$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x + 1) + 0 =  - \infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$

Khi $x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0$ nên $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của hàm số

Ta có: ${y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x =  - 2$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 2$

Hàm số đạt cực đại tại $x =  - 2,{y_{CD}} =  - 2$

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng ${\rm{x}} =  - 1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$

Giao điểm với trục Oy là $(0,2)$

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty$

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}$

_Khi $x \to  \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0$ _nên $y = x$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} ${y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D$

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty ,2$) và (2, $\infty$).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,$\frac{3}{2}$)

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi $x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0$ _nên $y =  - x - 1$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} ${y^\prime } =  - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in D$

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$,-1).và (-1, $\infty$).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

d)

- Tập xác định: D = R \ {1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi $x \to  \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0$ _nên $y =  - 2x - 1$ _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} ${y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 2$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$,0) và (2, $\infty$), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 1$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2,{y_{CD}} =  - 7$

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.

Giao điểm với trục Oy là (0,1)