Giải bài tập 1.11 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {2x - y} \right) = 5\\4\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {2x - y} \right) = 15\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\end{array}$

Do hệ số của $y$ trong hai phương trình bằng nhau nên trừ từng vế hai phương trình của hệ trên ta được:

$\begin{array}{l}\left( {5x - y} \right) - \left( {3x - y} \right) = 4 - 5\\5x - y - 3x + y =  - 1\\2x =  - 1\\x = \frac{{ - 1}}{2}.\end{array}$

Thay $x =  - \frac{1}{2}$ vào phương trình $3x - y = 5$, ta có:

$\begin{array}{l}3.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 5\\ - \frac{3}{2} - y = 5\\y = \frac{{ - 13}}{2}.\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 13}}{2}} \right)$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {2x - y} \right) = 5\\4\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {2x - y} \right) = 15\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 6y - 8x + 4y = 5\\4x + 8y + 6x - 3y = 15\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 5x + 10y = 5\\10x + 5y = 15\end{array} \right.\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta thu được hệ sau: $\left\{ \begin{array}{l} - 10x + 20y = 10\\10x + 5y = 15\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$\begin{array}{l}\left( { - 10x + 20y} \right) + \left( {10x + 5y} \right) = 10 + 15\\ - 10x + 20y + 10x + 5y = 25\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,25y = 25\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 1.\end{array}$

Thay $y = 1$ vào phương trình $- 5x + 10y = 5$, ta có:

$\begin{array}{l} - 5x + 10.1 = 5\\ - 5x =  - 5\\x = 1.\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {1;1} \right)$.