Giải bài 8 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}$;

b) $y =  - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}}$.

Lời giải chi tiết

a)

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm

$y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CĐ}}=-2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = 2$.

• Tiệm cận:

Ta có:  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) =  + \infty$

Vậy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:  $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{x\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}} = 1$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{{\rm{x}} - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}} =  - 1$

Vậy đường thẳng $y = {\rm{x}} - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 2 = 0$ (phương trình vô nghiệm).

Vậy đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $Ox$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( {1;0} \right)$.

b) $y =  - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' =  - 2 - \frac{2}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}$.

Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne  - \frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)$ và $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

• Tiệm cận:

Ta có:  $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {\frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} \left( {\frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right) =  + \infty$

Vậy $x =  - \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:  $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} =  - 2$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { - 2{\rm{x}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} = 0$

Vậy đường thẳng $y = 2{\rm{x}}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow  - 4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}$ hoặc $x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại hai điểm $\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4};0} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4};0} \right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;1} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( { - \frac{1}{2};1} \right)$.