Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}$ ($m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi $m = 2$, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình ${x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$.

Vậy với $m < 3$ thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Vì $m = 2$ thoả mãn điều kiện $m < 3$ nên khi $m = 2$, hàm số có hai điểm cực trị.

Với $m = 2$ hàm số có dạng: $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}$

Đạo hàm $y' = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CĐ}}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = 6$.

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = ax + b$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = 2x + 2$.