Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho điểm $M\left( {3; - 1;2} \right)$. Tìm:

a) Toạ độ điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua gốc toạ độ $O$.

b) Toạ độ điểm $O'$ là điểm đối xứng của điểm $O$ qua điểm $M$.

c) Khoảng cách từ $M$ đến gốc toạ độ.

d) Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $M'\left( {{x_{M'}};{y_{M'}};{z_{M'}}} \right)$.

$M'$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua gốc toạ độ $O$ thì $O$ là trung điểm của $MM'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}3 + {x_{M'}} = 2.0\\ - 1 + {y_{M'}} = 2.0\\2 + {z_{M'}} = 2.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} =  - 3\\{y_{M'}} = 1\\{z_{M'}} =  - 2\end{array} \right.$. Vậy $M'\left( { - 3;1; - 2} \right)$.

b) Giả sử $O'\left( {{x_{O'}};{y_{O'}};{z_{O'}}} \right)$.

$O'$ là điểm đối xứng của điểm $O$ qua điểm $M$ thì $M$ là trung điểm của $OO'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}0 + {x_{O'}} = 2.3\\0 + {y_{O'}} = 2.\left( { - 1} \right)\\0 + {z_{O'}} = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 6\\{y_{O'}} =  - 2\\{z_{O'}} = 4\end{array} \right.$. Vậy $O'\left( {6; - 2;4} \right)$.

c) $OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {14}$.

d) Gọi ${M_1}$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Khi đó ${M_1}\left( {3;0;2} \right)$.

$d\left( {M,\left( {Oxz} \right)} \right) = M{M_1} = \left| {\overrightarrow {M{M_1}} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}}  = 1$.