Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho điểm \(M\left( {3; - 1;2} \right)\). Tìm:

a) Toạ độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\).

b) Toạ độ điểm \(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\).

c) Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ.

d) Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(M'\left( {{x_{M'}};{y_{M'}};{z_{M'}}} \right)\).

\(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\) thì \(O\) là trung điểm của \(MM'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}3 + {x_{M'}} = 2.0\\ - 1 + {y_{M'}} = 2.0\\2 + {z_{M'}} = 2.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} =  - 3\\{y_{M'}} = 1\\{z_{M'}} =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(M'\left( { - 3;1; - 2} \right)\).

b) Giả sử \(O'\left( {{x_{O'}};{y_{O'}};{z_{O'}}} \right)\).

\(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\) thì \(M\) là trung điểm của \(OO'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 + {x_{O'}} = 2.3\\0 + {y_{O'}} = 2.\left( { - 1} \right)\\0 + {z_{O'}} = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 6\\{y_{O'}} =  - 2\\{z_{O'}} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(O'\left( {6; - 2;4} \right)\).

c) \(OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {14} \).

d) Gọi \({M_1}\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó \({M_1}\left( {3;0;2} \right)\).

\(d\left( {M,\left( {Oxz} \right)} \right) = M{M_1} = \left| {\overrightarrow {M{M_1}} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}}  = 1\).