Giải bài 4.20 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác góc D cắt AC tại N. Chứng minh MN//AD.

Lời giải chi tiết

Vì AM là phân giác của góc BAD trong tam giác ABD nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Vì DN là phân giác của góc ADC trong tam giác ACD nên $\frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$

Do đó, $\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}$, suy ra $\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1$

Hay $\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}$, do đó $\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}$

Vì ABCD là hình bình hành nên $BD = 2DO,AC = 2AO$

Do đó, $\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}$ hay $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$

Tam giác DAO có: $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$ nên MN//AD (định lí Thalès đảo)