Giải bài 4.16 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh \(MI = IK = KN\).

Lời giải chi tiết

Vì CE là trung tuyến của tam giác ABC nên \(AE = EB\)

Vì M là trung điểm của BE nên \(EM = \frac{1}{2}EB\)

Do đó, \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{1}{2}\) (1)

Vì BD là trung tuyến của tam giác ABC nên \(AD = DC\)

Vì N là trung điểm của DC nên \(DN = \frac{1}{2}CD\)

Do đó, \(\frac{{DN}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{DN}}{{AD}}\)

Tam giác AMN có: \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{DN}}{{AD}}\) nên ED//MN

Tam giác EBD có: MI//ED (cmt), M là trung điểm của BE nên I là trung điểm BD. Do đó, \(\frac{{MI}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) (1)

Tam giác ECD có: NK//ED (cmt), N là trung điểm của DC nên K là trung điểm EC. Do đó, \(\frac{{KN}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) (2)

Tam giác ABC có E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (3) và ED//BC

Từ (1), (2), (3) có: \(\frac{{MI}}{{BC}} = \frac{{KN}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) (4)

Tam giác EBC có: KM//BC (cùng song song với ED), M là trung điểm của BE nên K là trung điểm của EC.

Do đó, MK là đường trung bình của tam giác EBC.

Suy ra: \(\frac{{MK}}{{BC}} = \frac{1}{2}\), hay \(\frac{{MI + IK}}{{BC}} = \frac{1}{2}\), mà \(\frac{{MI}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) nên \(\frac{{IK}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) (5)

Từ (4) và (5) ta có: \(MI = IK = KN\)