Giải bài 4.18 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng $AI = CK$.

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AN}}$.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $AD = BC$, AD//BC nên $\widehat {IAD} = \widehat {KCB}$ (so le trong) (1)

Vì NF//ID (gt) nên $\widehat {ANF} = \widehat {AID}$ (đồng vị)

Vì EN//BK (gt) nên $\widehat {BKC} = \widehat {ENC}$ (đồng vị)

Mà $\widehat {ANF} = \widehat {ENC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\widehat {AID} = \widehat {BKC}$ (2)

Tam giác BKC có: $\widehat {KCB} + \widehat {BKC} + \widehat {CBK} = {180^0}$ (3)

Tam giác AID có: $\widehat {IAD} + \widehat {AID} + \widehat {ADI} = {180^0}$ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: $\widehat {ADI} = \widehat {KBC}$

Tam giác AID và tam giác CKB có:

$\widehat {ADI} = \widehat {KBC}$ (cmt), $AD = BC$(cmt), $\widehat {IAD} = \widehat {KCB}$ (cmt)

Do đó, $\Delta AID = \Delta CKB\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow AI = CK$

b) Tam giác ABK có EN//BK (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AK}}{{AN}}$

Tam giác ADI có FN//DI (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AI}}{{AN}}$

Do đó, $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK}}{{AN}} + \frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AK + AI}}{{AN}}$

Mà $AI = CK$ (cmt) nên $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK + CK}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AN}}$