Giải bài 2.20 trang 30 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) ${\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}$;

b)  ${\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)$;

c) $\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4).$

Lời giải chi tiết

a) Ta có ${\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}$

$= {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - ({x^3}\; - 3{x^2}\; + 3x - 1) - 6{x^2}$

$= {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - {x^3}\; + 3{x^2}\; - 3x + 1 - 6{x^2}$

$= ({x^3} - {x^3}) + (3{x^2}\; + 3{x^{2\;}} - 6{x^2}) + \left( {3x - 3x} \right) + 1 + 1$

$= 2.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có:

${\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)$

$= {\left( {2x-3} \right)^2}\;-2.\left( {2x-3} \right).\left( {2x + 3} \right) + {\left( {2x + 3} \right)^2}$

$= {\left[ {2x-3-\left( {2x + 3} \right)} \right]^2}$

$= {\left( {2x-3-2x-3} \right)^2}$

$= {\left( {-6} \right)^2}\; = 36$.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) Ta có:

$\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4)$

$= \left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + {3^2})-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + {2^2})$

$= {x^3}\; - {3^3}\; - ({x^3}\; + {2^3})$

$= {x^3}\; - 27 - {x^3}\; - 8$

$= ({x^3}\; - {x^3}) - 27 - 8 =  - 35.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.