Giải bài 2 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y =  - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1$;

b) $y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2$;

c) $y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1$;

d) $y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y =  - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' =  - 3{x^2} - 6x + 24;y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 4$ hoặc $x = 2$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 4;2} \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 4} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=2,{{y}_{CĐ}}=27$; hàm số đạt cực tiểu tại $x =  - 4,{y_{CT}} =  - 81$.

b) Xét hàm số $y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 16x + 5;y' = 0 \Leftrightarrow x = 5$ hoặc ${\rm{x}} = \frac{1}{3}$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};5} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3},{{y}_{CĐ}}=\frac{76}{27}$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5,{y_{CT}} =  - 48$.

c) Xét hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} + 4x + 3 = 3{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{5}{3} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số $y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' =  - 9{x^2} + 6x - 1 =  - {\left( {3x - 1} \right)^2};y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số không có cực trị.