Giải bài 5 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm $m$ để

a) Hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} + m}}{{{\rm{x}} - 1}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

b) Hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 3{\rm{x}} + m}}{{{\rm{x}} + 2}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' = \frac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

$\Leftrightarrow  - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m <  - 2$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} + 2} \right) - \left( { - {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right){{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 2x + 3} \right)\left( {{\rm{x}} + 2} \right) - \left( { - {x^2} + 3{\rm{x}} + m} \right)}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - {x^2} - 4{\rm{x}} - m + 6}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}\end{array}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $y' = \frac{{ - {x^2} - 4{\rm{x}} - m + 6}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - {x^2} - 4{\rm{x}} - m + 6 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - m + 6} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - m + 10 \le 0 \Leftrightarrow m \ge 10\end{array}$