Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}$;

b) $y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}$;

c) $y = \sqrt {4 - {x^2}}$;

d) $y = x - \ln {\rm{x}}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}} < 0$.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$. Hàm số không có cực trị.

b) Xét hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{17}}{{{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$ và $\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}}$.

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0,{{y}_{CĐ}}=2$.

d) Xét hàm số $y = x - \ln {\rm{x}}$.

Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{x};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1,{y_{CT}} = 1$.