Giải bài 1 trang 161 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Bảng tần số ghép nhóm gồm các giá trị đại diện của nhóm là:

Cỡ mẫu $n = 233$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x  = \frac{{27,5.25 + 32,5.38 + 37,5.62 + 42,5.42 + 47,5.37 + 52,5.29}}{{233}} \approx 39,97$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\left[ {35;40} \right)$.

Do đó, ${u_m} = 35,{n_{m - 1}} = 38,{n_m} = 62,{n_{m + 1}} = 42,{u_{m + 1}} - {u_m} = 40 - 35 = 5$

Mốt của mẫu số liệu là: ${M_O} = 35 + \frac{{62 - 38}}{{\left( {62 - 38} \right) + \left( {62 - 42} \right)}}.5 = \frac{{415}}{{11}}$

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{233}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},...,{x_{25}} \in \left[ {25;30} \right),{x_{26}},...,{x_{63}} \in \left[ {30;35} \right),{x_{64}},...,{x_{125}} \in \left[ {35;40} \right),{x_{126}},...,{x_{167}} \in \left[ {40;45} \right),$

${x_{168}},...,{x_{204}} \in \left[ {45;50} \right),{x_{205}},...,{x_{233}} \in \left[ {50;55} \right)$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là ${x_{117}}$. Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {35;40} \right)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_2} = 35 + \frac{{\frac{{233}}{2} - \left( {25 + 38} \right)}}{{62}}.\left( {40 - 35} \right) = \frac{{4\;875}}{{124}}$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{58}} + {x_{59}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {30;35} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{233}}{4} - 25}}{{38}}.\left( {35 - 30} \right) = \frac{{275}}{8}$

Do cỡ mẫu $n = 233$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{175}} + {x_{176}}} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {45;50} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 45 + \frac{{\frac{{3.233}}{4} - \left( {25 + 38 + 62 + 42} \right)}}{{37}}.\left( {50 - 45} \right) = \frac{{6\;815}}{{148}}$