Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d (a \ne 0)\)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\).

Tập xác định của hàm số: R.

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 6x\). Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} =  - 4\). Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \).

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Ta có: y = 0 \( \Leftrightarrow \)x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\).

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).

Tập xác định của hàm số: R\{2}.

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =  - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  - \infty  = 1\).

                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1.

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I \(\left( {2;1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0)\) (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\).

Tập xác định của hàm số: R\{2}.

Sự biến thiên: Viết \(y = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\) . Vậy y’ = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với \({y_{CT}} = 5\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x + 1.

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I \(\left( {2;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan thực tiễn

Ví dụ: Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc v của luồng khí liên hệ với bán kính x của khí quản theo công thức:

\(v(x) = k({x_0} - x){x^2}\) với \(\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}\)

trong đó k là hằng số (k > 0) và \({x_0}\) là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Tìm x theo \({x_0}\) để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất.

Giải:

Xét hàm số \(f(x) = ({x_0} - x){x^2}\) với \({x_0}\) cố định và \(\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}\).

Do k là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(x) =  - {x^3} + {x_0}{x^2};\\f'(x) =  - 3{x^2} + 2{x_0}x;\\f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \frac{2}{3}{x_0}\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2}{x_0};{x_0}} \right]} f(x) = f\left( {\frac{2}{3}{x_0}} \right)\).

Vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(x = \frac{2}{3}{x_0}\).