Giải mục 1 trang 72, 73 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho nửa đường tròn tâm I bán kính r quay quanh đường kính AB cố định của nó, ta nhận được một mặt cầu (S) tâm I bán kính r. Xét một điểm M thuộc (S) (Hình 5.32). Hãy so sánh IM và r.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ tâm nửa đường tròn tới bất kỳ điểm nào nằm trên nửa đường tròn đều bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì M là vị trí của một điểm thuộc nửa đường tròn quay quanh AB, nên điểm M luôn có cùng khoảng cách từ I đến điểm đó như khoảng cách từ I đến bất kỳ điểm nào trên nửa đường tròn ban đầu, tức là IM = r.

Do bán kính không thay đổi trong suốt quá trình quay, khoảng cách từ I đến M vẫn giữ nguyên giá trị là 𝑟.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua gốc toạ độ O, bán kính r = 5. Tìm toạ độ tâm I của (S), biết điểm I thuộc đường thẳng

$d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = t}\\{z = 4 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}).$

Phương pháp giải:

Gọi $I(a,b,c)$ là tọa độ của tâm mặt cầu $S$.

Vì mặt cầu $S$ đi qua gốc tọa độ $O(0,0,0)$, nên $IO = r = 5$.

Đặt $I$ nằm trên đường thẳng $d$ và tìm giá trị $t$ sao cho khoảng cách $IO = 5$.

Giải phương trình để tìm $t$, từ đó xác định tọa độ của $I$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $I(a,b,c)$ có tọa độ: $a = 3 - t, b = t, c = 4 + 2t.$

 Do $IO = 5$, ta có: $IO = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = 5.$

 Thay $a = 3 - t$, $b = t$, $c = 4 + 2t$ vào phương trình:

$\begin{array}{l}\sqrt {{{(3 - t)}^2} + {t^2} + {{(4 + 2t)}^2}}  = 5.\\ \Leftrightarrow 9 - 6t + {t^2} + {t^2} + 16 + 16t + 4{t^2} = 25\\ \Leftrightarrow 6{t^2} + 10t + 25 = 25\\ \Leftrightarrow 2t(3t + 5) = 0\\ \Leftrightarrow t = 0,\,\,\,t =  - \frac{5}{3}\end{array}$

Vậy có hai toạ độ tâm I thoả mãn là $I(3;0;4)$ hoặc $I\left( {\frac{{14}}{3}; - \frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)$.