Giải bài tập 7 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Lời giải chi tiết

Gọi M(x; y; z).

Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}}  = 6\);

\(MB = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2} + {{\left( {8 - z} \right)}^2}}  = 7\);

\(MC = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( {9 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}}  = 12\);

\(MD = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 15 - y} \right)}^2} + {{\left( {18 - z} \right)}^2}}  = 24\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 36\left( 1 \right)\\{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - z} \right)^2} = 49\left( 2 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 144\left( 3 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( { - 15 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} = 576\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ vế với vế của (3) và (1) ta có: \({\left( {7 - x} \right)^2} - {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} - {\left( { - 1 - y} \right)^2} = 144 - 36\)

\( \Leftrightarrow  - 8x - 20y =  - 12 \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 5y}}{2}\left( 5 \right)\).

Trừ vế với vế của (4) và (3) ta có: \({\left( { - 15 - y} \right)^2} - {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} - {\left( {6 - z} \right)^2} = 576 - 144\)

\( \Leftrightarrow 48y - 24z = 0 \Leftrightarrow z = 2y\left( 6 \right)\).

Thay (5) và (6) vào (2) ta có: \({\left( {1 - \frac{{3 - 5y}}{2}} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - 2y} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow 45{y^2} - 170y + 125 = 0 \Leftrightarrow y = 1\) hoặc \(y = \frac{{25}}{9}\).

+ Với \(y = 1\) ta có: \(x =  - 1;z = 2\). Khi đó, M(-1; 1; 2). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với \(y = \frac{{25}}{9}\) ta có: \(x =  - \frac{{49}}{9};z = \frac{{50}}{9}\). Khi đó, \(M\left( {\frac{{ - 49}}{9};\frac{{25}}{9};\frac{{50}}{9}} \right)\). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy điểm M(-1; 1; 2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.