Giải bài tập 6 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 11 - 6t\\y =  - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.$ (t là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.$ (t là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1; - 1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 6; - 3;3} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 11; - 6;10} \right)$.

Vì $- 3\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 6; - 3;3} \right) = \overrightarrow {{u_2}}$, suy ra $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 12; - 8;7} \right)$ và $\frac{2}{{ - 12}} \ne \frac{1}{{ - 8}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ không cùng phương.

Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3;4;5} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2; - 3} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 3; - 6;15} \right)$.

Ta có: $\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 8;12} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 22;14;2} \right)$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = \left( { - 22} \right).\left( { - 4} \right) + 14.\left( { - 8} \right) + 2.12 = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB}$ đồng phẳng. Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {4;3;1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;1;0} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2;2} \right)$ và đi qua điểm $B\left( {1;3;1} \right)$.

Ta có: $\frac{4}{1} \ne \frac{3}{2}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {4; - 7;5} \right)$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 4.2 - 7.2 + 5.1 =  - 1 \ne 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB}$ không đồng phẳng. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.