Giải bài tập 5.29 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T₁), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T₂).

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T₁) và (T₂) lần lượt là R₁ và R₂. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng $\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1}$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}$. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T₃) đối với mỗi đường tròn (T₁) và (T₂). Vẽ ba đường tròn đó nếu R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm.

Lời giải chi tiết

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) là hai đường tròn đồng tâm, (T₁) chứa (T₂).

b) Gọi tâm của (T₁) là O, tâm của (T₃) là O’

Xét $\left( {{T_1}} \right)$ và $\left( {{T_3}} \right)$, ta có:

${{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}$; ${{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3} > {{\rm{R}}_1}{\rm{ > }}\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} = {\rm{OO'}}$ hay ${{\rm{R}}_1} + {R_3} > {\rm{OO'}}$

$\begin{array}{l}{R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \left( {\frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}} \right)\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right)\end{array}$

Vì ${R_1} - {R_2} > 0$ nên $\frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) > \frac{1}{2}{R_1} = OO'$ hay ${{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}{\rm{ > OO'}}$hay ${\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}$

Vậy (T₁) đựng (T₃).

Xét $\left( {{T_2}} \right)$ và $\left( {{T_3}} \right)$, ta có:

${{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}$; ${{\rm{R}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{R}}_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO'$ hay ${R_2} - {R_3} < OO'$

${R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}$.

TH1: $\frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1}$ hay $3{R_2} > {R_1}$ thì ${R_2} + {R_3} > OO'$

Suy ra ${R_2} - {R_3} < OO' < {R_2} + {R_3}$

Vậy (T₂) và (T₃) cắt nhau.

TH2: $\frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1}$ hay $3{R_2} = {R_1}$ thì ${R_2} + {R_3} = OO'$

Vậy (T₂) tiếp xúc ngoài với (T₃).

TH2: $\frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1}$ hay $3{R_2} < {R_1}$ thì ${R_2} + {R_3} < OO'$

Vậy (T₂) và (T₃) ở ngoài nhau.

+ Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm, so sánh $3{R_2}$ với ${R_1}$, ta được $3{R_2} = 3.2 = 6 > 3 = {R_1}$, khi đó (T₂) và (T₃) cắt nhau.

$\begin{array}{l}\left( {{T_3}} \right):{R_3} = \frac{1}{2}.2 = 1cm\\OO' = \frac{1}{2}{R_1} = \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}cm\end{array}$

Ta có hình vẽ sau: