Giải bài tập 5.22 trang 103 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).

Lời giải chi tiết

Ta có: OA là tiếp tuyến của đường tròn (M; MA) do OA $\bot$ MA tại A.

Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:

OM chung

$\widehat {{\rm{AOM}}} = \widehat {{\rm{BOM}}}$ (do OM là tia phân giác của góc $\widehat {{\rm{AOB}}}$)

OA = OB

Vậy $\Delta {\rm{OAM}} = \Delta {\rm{OBM}}$ (c.g.c)

Suy ra: MA = MB (hai cạnh tương ứng)

$\widehat {{\rm{OAM}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng) hay OB $\bot$ MB

Do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (M; MA)

Vậy OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O).