Giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:

a) $y = \sqrt {2 + \cos x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi }{2}$.

b) $y = {x^2} - 3x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$.

Lời giải chi tiết

a) Với $y = \sqrt {2 + \cos x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi }{2}$, ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sqrt {2 + \cos x} )}^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx$

- Tính tích phân:

$V = \pi \left[ {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 {\mkern 1mu} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x{\mkern 1mu} dx} \right] = \pi \left[ {\left. {2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \pi \left( {\pi  + 1} \right) = {\pi ^2} + \pi$

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V = {\pi ^2} + \pi$

b) Với $y = {x^2} - 3x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi \int_0^3 {{{({x^2} - 3x)}^2}} {\mkern 1mu} dx.$

- Khai triển biểu thức:

${({x^2} - 3x)^2} = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}.$

- Tính tích phân:

$V = \pi \left[ {\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx - 6\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx + 9\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx} \right].$

- Các tích phân lần lượt là:

$\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^5}}}{5} = \frac{{243}}{5},$

$\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{81}}{4},$

$\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^3}}}{3} = 9.$

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \times \frac{{81}}{4} + 9 \times 9} \right) = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - \frac{{486}}{4} + 81} \right) = \frac{{81}}{{10}}\pi$.