Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ${A_1}(0;1;0)$, ${A_2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)$, ${A_3}( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)$ (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\left| {\overrightarrow {{A_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1$;

$\left| {\overrightarrow {{A_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1$;

$\left| {\overrightarrow {{A_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1$.

Do đó ${A_1}O = {A_2}O = {A_3}O = 1$, suy ra O là trọng tâm tam giác ${A_1}{A_2}{A_3}$.

Khi đó $\overrightarrow {E{A_1}}  + \overrightarrow {E{A_2}}  + \overrightarrow {E{A_3}}  = 3\overrightarrow {EO}$ (tính chất trọng tâm).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ $E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}$ (do các tam giác vuông $EO{A_1}$, $EO{A_2}$, $EO{A_3}$ bằng nhau). Các lực $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}}$ cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:

$\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{E{A_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{E{A_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{E{A_3}}} = k$ và $\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {E{A_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {E{A_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {E{A_3}}$.

Từ $\overrightarrow {E{A_1}}  + \overrightarrow {E{A_2}}  + \overrightarrow {E{A_3}}  = 3\overrightarrow {EO}$ đã chứng minh, ta được:

$k\overrightarrow {E{A_1}}  + k\overrightarrow {E{A_2}}  + k\overrightarrow {E{A_3}}  = 3k\overrightarrow {EO}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3k\overrightarrow {EO}$.

Mà $\overrightarrow {EO}  = (0 - 0;0 - 0;0 - 6) = (0;0 - 6)$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = (0;0; - 18k)$.

Giả sử $\overrightarrow P$ là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. $\overrightarrow P$ là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của $\overrightarrow P  = (0;0; - 300)$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P  \Leftrightarrow  - 18k =  - 300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}$.

Vậy $\overrightarrow {{F_1}}  = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)$; $\overrightarrow {{F_2}}  = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)$; $\overrightarrow {{F_3}}  = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)$.