Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \({A_1}(0;1;0)\), \({A_2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\), \({A_3}( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{A_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {{A_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {{A_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 1\).

Do đó \({A_1}O = {A_2}O = {A_3}O = 1\), suy ra O là trọng tâm tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\).

Khi đó \(\overrightarrow {E{A_1}}  + \overrightarrow {E{A_2}}  + \overrightarrow {E{A_3}}  = 3\overrightarrow {EO} \) (tính chất trọng tâm).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ \(E{A_1} = E{A_2} = E{A_3}\) (do các tam giác vuông \(EO{A_1}\), \(EO{A_2}\), \(EO{A_3}\) bằng nhau). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:

\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{E{A_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{E{A_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{E{A_3}}} = k\) và \(\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {E{A_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {E{A_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {E{A_3}} \).

Từ \(\overrightarrow {E{A_1}}  + \overrightarrow {E{A_2}}  + \overrightarrow {E{A_3}}  = 3\overrightarrow {EO} \) đã chứng minh, ta được:

\(k\overrightarrow {E{A_1}}  + k\overrightarrow {E{A_2}}  + k\overrightarrow {E{A_3}}  = 3k\overrightarrow {EO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3k\overrightarrow {EO} \).

Mà \(\overrightarrow {EO}  = (0 - 0;0 - 0;0 - 6) = (0;0 - 6)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = (0;0; - 18k)\).

Giả sử \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. \(\overrightarrow P \) là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của \(\overrightarrow P  = (0;0; - 300)\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P  \Leftrightarrow  - 18k =  - 300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}\).

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}}  = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_2}}  = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_3}}  = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{25}}{3}; - 100)\).