Giải bài 9.10 trang 52 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết $\widehat {ABC} = \widehat {MNP}$ và $BC = 2NP$. Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra: EF//BC. Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$

Lại có: $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ nên $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ đồng dạng với tỉ số 2 (1)

Vì EF//BC nên $\widehat {ABC} = \widehat {AEF\,},\widehat {ACB} = \widehat {AFE}$ (hai góc đồng vị)

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Do đó, $\widehat {ABC} = \widehat {AEF\,} = \widehat {ACB} = \widehat {AFE}$

Tam giác MNP cân tại M nên $\widehat {MNP} = \widehat {NPM}$

Lại có: $\widehat {ABC} = \widehat {MNP}$  (gt)

Do đó, $\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}$

Tam giác AEF và tam giác MNP có:

$\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM},FE = NP\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)$

Do đó, $\Delta AEF = \Delta MNP\left( {g.c.g} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ với tỉ số 2