Giải bài 9.10 trang 52 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết \(\widehat {ABC} = \widehat {MNP}\) và \(BC = 2NP\). Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra: EF//BC. Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$

Lại có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}\) nên $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ đồng dạng với tỉ số 2 (1)

Vì EF//BC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF\,},\widehat {ACB} = \widehat {AFE}\) (hai góc đồng vị)

Mà tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF\,} = \widehat {ACB} = \widehat {AFE}\)

Tam giác MNP cân tại M nên \(\widehat {MNP} = \widehat {NPM}\)

Lại có: \(\widehat {ABC} = \widehat {MNP}\)  (gt)

Do đó, \(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}\)

Tam giác AEF và tam giác MNP có:

\(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM},FE = NP\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AEF = \Delta MNP\left( {g.c.g} \right)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ với tỉ số 2