Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Xét bài toán phụ: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, $MN = \frac{{BC}}{2}$

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:

$NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}$ (hai góc đối đỉnh), $NM = NP$ (gt)

Do đó, $\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)$

Suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BM

Lại có: $CP = AM = BM$

Tứ giác BMPC có: CP//BM, $CP = BM$ nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, $MN = \frac{{BC}}{2}$

Giải bài 7

Xét tam giác ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD (giả thiết) nên theo bài toán phụ, ta có: $MN = \frac{{AD}}{2}$, MN//AD.

Xét tam giác ACD có P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AC (giả thiết) nên theo bài toán phụ, ta có: $PQ = \frac{{AD}}{2}$, PQ//AD.

Xét tứ giác MNPQ có MN//PQ (cùng song song với AD), $MN = PQ\left( { = \frac{{AD}}{2}} \right)$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.