Giải bài 4 trang 65 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $BM = DN = \frac{1}{3}BD$.

a) Chứng minh $\Delta AMB = \Delta CND$.

b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng $AM = 2MI$.

d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$, AB//CD. Do đó, $\widehat {MBA} = \widehat {NDC}$ (hai góc so le trong)

Tam giác AMB và tam giác CND có:

$AB = CD$(cmt), $\widehat {MBA} = \widehat {NDC}$ (cmt), $BM = DN$ (gt)

Do đó, $\Delta AMB = \Delta CND\left( {c - g - c} \right)$

b) Vì $\Delta AMB = \Delta CND$ (cmt) nên $AM = CN$

Tam giác ABN và tam giác CDM có:

$AB = CD$(cmt), $\widehat {ABN} = \widehat {MDC}$, $BN = DM\left( { = \frac{2}{3}BD} \right)$

Suy ra: $\Delta ABN = \Delta CDM\left( {c - g - c} \right)$ nên $AN = MC$

Tứ giác AMCN có: $AN = MC$ (cmt), $AM = CN$ (cmt) nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên $OA = OC$.

Tam giác ABC có: $OA = OC$, suy ra BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lại có: $BM = \frac{1}{3}BD,\;BO = \frac{1}{2}BD$, suy ra $BM = \frac{2}{3}BO$ do đó M là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, $AM = \frac{2}{3}AI,MI = \frac{1}{3}AI$. Vậy $AM = 2MI$

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM//CN. Mà $M \in AI,N \in CK$ suy ra AI//CK (1)

mà AD//BC (do ABCD là hình bình hành) và $K \in AD,I \in BC$ nên AK//CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành. Mà O là trung điểm của AC, suy ra O là trung điểm của KI hay I đối xứng với K qua O.