Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao BE và CD $\left( {D \in AB,E \in AC} \right)$. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A nên $AB = AC$ và $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat A = {180^0}$ nên $\widehat {ABC} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ (1)

Tam giác AEB và tam giác ADC có:

$\widehat {ADC} = \widehat {AEB} = {90^0},AB = AC,\widehat A\;chung$

Do đó, $\Delta AEB = \Delta ADC\left( {ch - gn} \right)$. Suy ra $AD = AE$

Do đó, tam giác AED cân tại E. Suy ra: $\widehat {ADE} = \widehat {AED}$

Mà $\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat A = {180^0}$ nên $\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ADE}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE//BC

Do đó, tứ giác BDEC là hình thang

Lại có: $\widehat {DBC} = \widehat {ECB}$ (cmt) nên tứ giác BDEC là hình thang cân