Giải bài 5.34 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B \in \left( O \right)$ và $C \in \left( {O'} \right)$ sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.

a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.

b) Cho biết $R = 3cm$, $R' = 1cm$ và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.

Lời giải chi tiết

a) Vì $OA = OB$ (bán kính của (O)) nên tam giác AOB cân tại O. Do đó, $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$.

Tam giác AOB có:

$\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} + \widehat {{B_1}} = 2\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}$ nên $2\widehat {{A_1}} = {180^o} - \widehat {{O_1}}$.

Vì $O'A = O'C$ (bán kính của (O’)) nên tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, $\widehat {{A_2}} = \widehat {O'CA}$.

Tam giác AO’C có:

$\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} + \widehat {O'CA} = 2\widehat {{A_2}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}$ nên $2\widehat {{A_2}} = {180^o} - \widehat {O{'_1}}$.

Do đó:

$2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}}} \right)$ (1)

Vì OB//O’C nên $\widehat {{O_2}} = \widehat {O{'_1}}$ (hai góc đồng vị).

Lại có: $\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} = {180^o}$ nên $\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}} = {180^o}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có:

$2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^o} - {180^o} = {180^o}$ nên $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^o}$, suy ra $\widehat {BAC} = {90^o}$.

b) Ta có: $OA = OB = R = 3cm,O'A = O'C = R' = 1cm$.

Tam giác DOB có O’C//OB nên

$\frac{{DO}}{{DO'}} = \frac{{OB}}{{O'C}} = \frac{3}{1}$ (3)

Lại có:

$DO' = DO - OO' = DO - \left( {OA + O'A} \right) \\= DO - \left( {3 + 1} \right) = DO - 4 \;(4)$

Từ (3) và (4) ta có:

$\frac{{DO}}{{DO - 4}} = \frac{3}{1}$, suy ra $DO = 3\left( {DO - 4} \right)$, hay $2DO = 12$, suy ra $DO = 6cm$.