Giải bài 5.21 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;

b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);

c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);

d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết $HB = 2cm$ và $HC = 4,5cm$.

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $AH \bot BC$ tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.

b) Vì M đối xứng với H qua AB nên $AM = AH$ và $BM = BH$, AB chung nên $\Delta AMB = \Delta AHB\left( {c.c.c} \right)$.

Do đó, $\widehat {AMB} = \widehat {AHB} = {90^o}$.

Lại có $AM = AH$ nên M thuộc đường tròn (A).

Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.

Vì N đối xứng với H qua AC nên $CN = CH$ và $AH = AN$, AC chung nên $\Delta ANC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)$.

Do đó, $\widehat {ANC} = \widehat {AHC} = {90^o}$.

Lại có $AH = AN$ nên N thuộc đường tròn (A).

Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.

c) Vì $\Delta AMB = \Delta AHB\left( {cmt} \right)$ nên $\widehat {MAB} = \widehat {HAB}$.

Vì $\Delta ANC = \Delta AHC\left( {cmt} \right)$ nên $\widehat {NAC} = \widehat {HAC}$.

Vì $AH \bot BC$ tại H nên $\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {90^o}$.

Do đó, $\widehat {MAB} + \widehat {HAB} + \widehat {NAC} + \widehat {HAC}$ $= 2\left( {\widehat {HAB} + \widehat {HAC}} \right)$ $= {2.90^o} = {180^o}$

Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Mà $AM = AN\left( { = AH} \right)$ nên MN là đường kính của (A).

d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên $BM = BH$.

Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên $CN = CH$. 

Do đó, $BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5\left( {cm} \right)$.

Ta có:

$\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {ACH} + \widehat {ABC}\\\left( { = {{90}^o}} \right)$ nên $\widehat {BAH} = \widehat {ACH}$.

Mà $\widehat {BHA} = \widehat {CHA} = {90^o}$ nên $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$

nên $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$,

suy ra $A{H^2} = BH.CH = 4,5.2 = 9$.

Suy ra $AH = 3cm$.

Do đó, $MN = 2AH = 6cm$.

Ta có: $BM \bot MN,CN \bot MN$ nên BM//NC.

Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.

Diện tích hình thang BMNC là:

$S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right) = \frac{1}{2}.6.6,5 = 19,5\left( {c{m^2}} \right)$.