Giải bài 5 trang 55 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1;1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {5;2;7} \right)$;

b) $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.$.

c) $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + 6z - 11 = 0$;

d) $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):{\rm{ }}x + y - z + 99 = 0$.

Lời giải chi tiết

a) $\cos \alpha  = \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 + 1.2 + \left( { - 1} \right).7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0$.

Vậy $\alpha  = {90^ \circ }$.

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)$.

Đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)$.

Ta có: $\cos \alpha  = \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\alpha  = {30^ \circ }$.

c) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {4;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'}  = \left( {1;1;6} \right)$.

Ta có: $\cos \alpha  = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0$.

Vậy $\alpha  = {90^ \circ }$.

d) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Ta có: $\sin \alpha  = \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0$.

Vậy $\alpha  = {0^ \circ }$.