Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A, AH$ và $AM$ tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ $A$ của tam giác đó. Qua điểm $A$ kẻ đường thẳng $mn$ vuông góc với $AM.$ Chứng minh: $AB$ và $AC$ tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi $AH$ và hai tia $Am, An$ của đường thẳng $mn.$

Lời giải chi tiết

Vì $∆ABC$ vuông tại $A,$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC$ (tính chất tam giác vuông)

Nên đường tròn tâm $M$ bán kính $MA$ đi qua $A,B,C$

Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(M,MA).$

Khi đó: $BC \bot AD$ tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn) 

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $AD$

$\Rightarrow AC=CD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow ∆ACD$ cân tại $C$

$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}$ $(1)$

Ta lại có: $\widehat{ADC}=\widehat{nAC}$ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) $(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{nAC}$ hay $\widehat{HAC}=\widehat{nAC}$

Vậy $AC$ là tia phân giác của $\widehat {HAn}$

Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{mAB}$ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) $(3)$

$\widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}$ (cùng phụ với góc $\widehat {HAC}$)     $(4)$

Từ $(3),(4)$ suy ra $\widehat {mAB} = \widehat {BAH}$.

Vậy $AB$ là tia phân giác của $\widehat {mAH}$.

HocTot.Nam.Name.Vn