Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 104 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R.$ Lấy ba điểm bất kỳ $A, B, C$ trên đường tròn $(O).$ Điểm $E$ bất kỳ thuôc đoạn thẳng $AB$ (và không trùng với $A, B$). Đường thẳng $d$ đi qua điểm $E$ và vuông góc với đường thẳng $OA$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại điểm $F.$ Chứng minh $\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^o}.$

Lời giải chi tiết

Kẻ tiếp tuyến $At$ của đường tròn $(O)$ 

Suy ra: $At  \bot OA$ (tính chất tiếp tuyến)

Mà $EF \bot OA$ $(gt)$

Do đó: $At // EF$

Nên $\widehat {EFA} = \widehat {CAt}$ (so le trong)

Lại có: $\widehat {CBA} = \widehat {CAt}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: $\widehat {EFA} = \widehat {CBA}$  hay $\widehat {EFA} = \widehat {CBE}$

Mà $\widehat {EFA} + \widehat {EFC} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat {CBE} + \widehat {EFC} =180^o \;\;   (1)$

Trong tứ giác $BCFE$ ta có:

$\widehat{BCF} +\widehat{BEF} + \widehat{CBE} +\widehat{CFE} =360^o$ (tổng các góc trong tứ giác)$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^o}$

HocTot.Nam.Name.Vn