Bài 25 trang 104 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Từ một điểm $M$ cố định ở bên ngoài đường tròn tâm $O$ ta kẻ một tiếp tuyến $MT$ và một cát tuyến $MAB$ của đường tròn đó.

$a)$ Chứng minh rằng ta luôn có $MT^2= MA.MB$ và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến $MAB.$

$b)$ Ở hình $2$ khi cho $MB =  20 cm,$$MB  = 50 cm,$ tính bán kính đường tròn.

Lời giải chi tiết

$a)$ 

 

Xét $∆MTA$ và $∆MTB,$ có: 

+) $\widehat M$ chung

+) $\widehat {MTA} = \widehat {TBA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây), hay $\widehat {MTA} = \widehat {TBM}$

Suy ra: $∆MAT$ đồng dạng $∆MTB$

$\displaystyle  \Rightarrow {{MT} \over {MA}} = {{MB} \over {MT}}$

$\Rightarrow M{T^2} = MA.MB$

Vì $MA.MB=MT^2$ mà $MT$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên tích $MA.MB$ không phụ thuộc vị trí của cát tuyến $MAB.$

$b)$

Gọi bán kính $(O)$ là $R$

$MB = MA + AB = MA + 2R$

$\Rightarrow MA = MB - 2R$

$M{T^2} = MA.MB$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow M{T^2} = \left( {MB - 2R} \right)MB$

$\Rightarrow R = \displaystyle {{M{B^2} - M{T^2}} \over {2MB}}$

$=\displaystyle  {{2500 - 400} \over {2.50}} = 21 (cm)$

HocTot.Nam.Name.Vn