Bài 24 trang 103 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A$ và $B.$ Qua $A$ vẽ cát tuyến $CAD$ với hai đường tròn $(C\in  (O),$ $D \in (O’)).$

$a)$ Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quang điểm $A$ thì $\widehat {CBD}$ có số đo không đổi.

$b)$ Từ $C$ và $D$ vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến $CAD$ quay xung quanh điểm $A.$ 

Lời giải chi tiết

$a)$ Ta có:

 $\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ  \overparen{AnB}$ (góc nội tiếp trong đường tròn $(O))$

 $\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ  \overparen{AmB}$ (góc nội tiếp trong đường tròn $(O'))$

Vì điểm $A, B$ cố định nên  $sđ \overparen{AnB},$ $sđ \overparen{AmB}$ không thay đổi

Vì vậy $\widehat {ACB},\widehat {ADB}$ có số đo không đổi.

Ta có:$\widehat {CBD} = {180^o} - \left( {\widehat {ACB} + \widehat {ADB}} \right)$ không đổi do $\widehat {ACB},\widehat {ADB}$ có số đo không đổi. 

Vậy số đo $\widehat {CBD}$ luôn không đổi khi cát tuyến $CAD$ thay đổi .

$b)$ Trong $(O)$ ta có

$\widehat {ABC} = \widehat {MCA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) $(1)$

Trong $(O’)$ ta có: $\widehat {ABD} = \widehat {MDA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat {MCA} + \widehat {MDA} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD}$$= \widehat {CBD}$

Hay $\widehat {MCD} + \widehat {MDC} = \widehat {CBD}$ (không đổi do câu a)

Trong $∆MCD$ ta có: $\widehat {CMD} = {180^o} - \left( {\widehat {MCD} + \widehat {MDC}} \right)$

$={180^o} - \widehat {CBD}$

Nên $\widehat {CMD}$ không đổi do $\widehat {CBD}$ không đổi.

Vậy $\widehat {CMD}$ không đổi.

HocTot.Nam.Name.Vn