Giải bài 2.6 trang 21 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh ${a^2}$ chia 3 dư 1.

b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh ${a^2}$ chia 5 dư 4.

Lời giải chi tiết

a) Vì a chia 3 dư 2 nên $a = 3n + 2$.

Ta xét

${a^2} = {\left( {3n + 2} \right)^2} = 9{n^2} + 12n + 4 = 9{n^2} + 12n + 3 + 1 = 3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) + 1$

Vì $3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) \vdots 3$ nên $3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) + 1$ chia 3 dư 1.

Vậy ${a^2}$ chia 3 dư 1.

b) Vì a chia 5 dư 3 nên $a = 5n + 3$.

Ta xét

${a^2} = {\left( {5n + 3} \right)^2} = 25{n^2} + 30n + 9 = 25{n^2} + 30n + 5 + 4 = 5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) + 4$

Vì $5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) \vdots 3$ nên $5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) + 4$ chia 5 dư 4.

Vậy ${a^2}$ chia 5 dư 4.