Giải bài 20 trang 66 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Chứng minh: $MN \le \frac{{AB + DC}}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải chi tiết

Lấy $I$ là trung điểm của $BD$. Khi đó, ta có $MI,NI$ lần lượt là các đường trung bình của tam giác $ABD$ và $BDC$ nên $MI = \frac{{AB}}{2},NI = \frac{{CD}}{2}$.

Do đó $MI + NI = \frac{{AB + CD}}{2}$ (1)

-         Nếu $I$ không thuộc $MN$ ta có $MN < MI + NI$ (bất đẳng thức tam giác).

-         Nếu $I$ thuộc $MN$ ta có $MN = MI + NI$.

Tức là, ta luôn có $MN \le MI + NI$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $MN \le \frac{{AB + CD}}{2}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $I$ thuộc $MN$, khi đó $AB//CD$.