Bài 18 trang 102 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $M$ cố định không nằm trên đường tròn. Qua $M$ vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở $A$ và $B.$ Chứng minh rằng tích $MA.MB$ không đổi. 

Lời giải chi tiết

* Trường hợp $M$ ở bên trong đường tròn $(O)$

Kẻ cát tuyến $MAB$ bất kì của $(O)$ và đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D.$

Xét hai $∆MAC$ và $∆MDB:$

+) $\widehat {AMC} = \widehat {BMD}$ (đối đỉnh)

+) $\widehat {A} = \widehat D$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{BC}$)

Suy ra: $∆MAC$ đồng dạng $∆MDB$ $(g.g)$

$\Rightarrow \displaystyle {{MA} \over {MD}} = {{MC} \over {MB}}$

$\Rightarrow MA.MB = MC.MD$            $(1)$

Vì $M, O$ cố định suy ra điểm $C$ và $D$ cố định nên độ dài của các đoạn $MC$ và $MD$ không đổi, suy ra tích $MC.MD$ không đổi   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tích $MA. MB$ không đổi khi cát tuyến $MAB$ thay đổi.

* Trường hợp điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$

 

Kẻ cát tuyến $MAB$ bất kỳ của $(O)$ và đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$

Xét $∆MAD$ và $∆MCB:$

+) $\widehat M$ chung

+) $\widehat B = \widehat D$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{AC}$)

Suy ra: $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB\;\; (g.g)$

$\Rightarrow \displaystyle {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}}$

$\Rightarrow MA.MB = MC.MD$   $(3)$

Vì $M$ và $O$ cố định suy ra điểm $C, D$ cố định nên độ dài của các đoạn $MC$ và $MD$ không đổi, suy ra tích $MC. MD$ không đổi   $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra tích $MA. MB$ không đổi khi cát tuyến $MAB$ thay đổi.

HocTot.Nam.Name.Vn