Bài 23 trang 103 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác cân $ABC$ $(AB = AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Các đường phân giác của hai góc $B$ và $C$ cắt nhau ở $E$ và cắt đường tròn lần lượt ở $F$ và $D.$ Chứng minh rằng tứ giác $EDAF$ là một hình thoi.

Lời giải chi tiết

Vì $∆ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Lại có:

$BF$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ $(gt)$

$CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ $(gt)$

Suy ra: $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$

Suy ra: $\overparen{AD}$$=\overparen{DB}$$=\overparen{AF}$$=\overparen{FC}$

Từ đó, đường tròn $(O)$ có: $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (hai góc nội tiếp chắn $2$ cung bằng nhau $BD$ và $AF$)

$\Rightarrow AD//BF$ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay $AD // EF\;\;\;              (1)$

Tương tự: $\widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}}$ (hai góc nội tiếp chắn $2$ cung bằng nhau)

$\Rightarrow  AF // CD$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Hay $AF // ED  \;\;\;            (2)$

Mà $\overparen{AD}= \overparen{AF}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow AD = AF$      $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: Tứ giác $ADEF$ là hình thoi

HocTot.Nam.Name.Vn