Bài 21 trang 102 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O,$ biết $\widehat A = {32^0}$, $\widehat B = {84^0}$. Lấy các điểm $D, E, F$ thuộc đường tròn tâm $O$ sao cho $AD = AB,$ $BE = BC,$ $CF = CA.$ Hãy tính các góc của tam giác $DEF.$

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn $(O)$ có:

$\widehat A =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BC}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow  sđ \overparen{BC}$ $= 2\widehat A = {2.32^o} = {64^o}$

Ta có: $BC = BE \;\;(gt)$

$\Rightarrow sđ \overparen{BC}$$= sđ \overparen{BE}= 64^o$

Mà $\widehat B = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AC}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{AC}$ $= 2\widehat B = {2.84^o} = {168^o}$

Lại có: $AC = CF \;\;(gt)$

$\Rightarrow sđ \overparen{CF}$ $=  sđ \overparen{AC}= 168^o$

$sđ \overparen{AC} +  sđ \overparen{AF} +  sđ \overparen{CF}$$= 360^o$

$\Rightarrow  sđ \overparen{AF}$ $= {360^o} -  sđ \overparen{AC} -  sđ \overparen{CF}$$= 360^o – 168^o. 2 = 24^o$

Trong $∆ABC$ ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)$

$= {180^0} - \left( {{{32}^o} + {{84}^o}} \right) = {64^o}$

Mà $\widehat {ACB} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}$ (tính chất góc nội tiếp) 

$\Rightarrow  sđ \overparen{AB} = 2\widehat {ACB} = {2.64^o} = {128^o}$

Lại có $AD = AB\;\; (gt)$

$\Rightarrow  sđ \overparen{AD} =  sđ \overparen{AB} = 128^o$

Ta có: $\widehat {FED} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{DF}$ $=\displaystyle {1 \over 2} ( sđ \overparen{AD} +  sđ \overparen{AF}$)

$= \displaystyle{1 \over 2}.\left( {{{128}^o} + {{24}^o}} \right) = {76^o}$

$\widehat {EDF} = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{EF}$ $=\displaystyle {1 \over 2} ( sđ \overparen{AB} -  sđ \overparen{AF} -  sđ \overparen{BE})$

$= \displaystyle{1 \over 2}.\left( {{{128}^o} - {{24}^o} - {{64}^o}} \right) = {20^o}$

$\widehat {DFE} = {180^o} - \left( {\widehat {FED} + \widehat {EDF}} \right)$

$= {180^0} - \left( {{{76}^o} + {{20}^o}} \right) = {84^o}$.

HocTot.Nam.Name.Vn