Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 1 - Cánh diềuPhần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?Đề bài
I. Trắc nghiệm
Câu 1 :
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
Câu 2 :
Với \(m = - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)
Câu 3 :
Phương trình \(4x - 2 = 0\) có nghiệm là
Câu 4 :
Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?
Câu 5 :
Một tam giác có độ dài các cạnh là \(x + 3\); \(x + 1\); \(x + 5\). Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là
Câu 6 :
Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là
Câu 7 :
Hãy chọn câu khẳng định đúng.
Câu 8 :
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?
Câu 9 :
Cho hình sau. Biết \(\Delta ABC,\Delta ADE\) là hai tam giác cân. Chọn kết luận đúng trong các câu sau:
II. Tự luận
Lời giải và đáp án
I. Trắc nghiệm
Câu 1 :
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \(2x - 5 = 0\) có dạng \(ax + b = 0\) với \(a = 2\) nên ta chọn đáp án B. Đáp án B.
Câu 2 :
Với \(m = - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay m vào phương trình, đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải. Lời giải chi tiết :
Thay \(m = - 1\) vào phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\), ta có: \(\begin{array}{l}\left[ {2{{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x = - 1 + 1\\\left( {2 - 2} \right)x = 0\end{array}\) \(0.x = 0\) (luôn đúng). Vậy phương trình có vô số nghiệm. Đáp án B.
Câu 3 :
Phương trình \(4x - 2 = 0\) có nghiệm là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải phương trình có dạng \(ax + b = 0\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}4x - 2 = 0\\4x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array}\) Đáp án D.
Câu 4 :
Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Coi bể nước bằng 1. Tính số phần bể mà vòi chảy được trong 1 giờ. Lời giải chi tiết :
Coi bể nước là 1. Vì vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ nên trong 1 giờ vòi chảy được là: \(1:5 = \frac{1}{5}\) (bể) Đáp án C.
Câu 5 :
Một tam giác có độ dài các cạnh là \(x + 3\); \(x + 1\); \(x + 5\). Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính chu vi tam giác để viết biểu thức. Lời giải chi tiết :
Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là: \(x + 3 + x + 1 + x + 5 = 3x + 9\). Đáp án A.
Câu 6 :
Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Gọi tuổi của em là x, biểu thị tuổi của chị theo tuổi của em và tính tuổi em năm sau. Lời giải chi tiết :
Gọi tuổi của em là x (tuổi), \(x \in N*\). Vì tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi nên x + 5 = 27 Giải phương trình ta được x = 27 – 5 = 22 (tuổi) (TM) Vậy năm sau tuổi của em là: 22 + 1 = 23 tuổi. Đáp án C.
Câu 7 :
Hãy chọn câu khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào kiến thức về hai tam giác đồng dạng. Lời giải chi tiết :
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng nên ta chọn đáp án A. Đáp án A.
Câu 8 :
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xác định tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác. Lời giải chi tiết :
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = k\). Vậy \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\). Đáp án B.
Câu 9 :
Cho hình sau. Biết \(\Delta ABC,\Delta ADE\) là hai tam giác cân. Chọn kết luận đúng trong các câu sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chứng minh $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Lời giải chi tiết :
Vì \(\Delta ABC,\Delta ADE\) cân nên \(AB = AC\); \(AD = AE\left( { = 6cm} \right)\). Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có: \(\widehat A\) chung \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (vì \(AB = AC;AD = AE\)) suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$ suy ra \(k = \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AE + EC}}{{AE}} = \frac{{6 + 3}}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Đáp án C.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để tìm x. Lời giải chi tiết :
Để hai tam giác đồng dạng thì \(\frac{2}{3} = \frac{x}{6}\) suy ra \(x = \frac{2}{3}.6 = 4\). Đáp án B.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào AB // DE suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\). Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng. Lời giải chi tiết :
Vì AB // DE nên \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (hai góc đồng vị) Xẻ \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDE\) có: \(\widehat A = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)\) \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (cmt) Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$. Từ đó ta được: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{CE}}\) suy ra \(AB.CE = AC.CD\). (A đúng) \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{DE}}\) suy ra \(AB.DE = BC.CD\) (B đúng) \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{DE}}\) suy ra \(AC.DE = CE.BC\) (C đúng) Vậy D sai (vì không có tỉ lệ nào suy ra \(AB.AC = DE.DC\)). Đáp án D.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Kiểm tra tỉ số các cặp cạnh của các hình trên. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{2}{{2,5}} = \frac{4}{5} \ne \frac{3}{6}\) nên hình 1 và hình 2 là hai hình đồng dạng Đáp án A.
II. Tự luận
Phương pháp giải :
Đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải. Lời giải chi tiết :
a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\) \(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{5}{2} = 0\\\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}\\x = - \frac{5}{2}:\frac{2}{3}\\x = - \frac{{15}}{4}\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{{15}}{4}\). b) \(4 - 3x = 5\) \(\begin{array}{l} - 3x = 5 - 4\\ - 3x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{3}\). c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\) \(\begin{array}{l}\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{5.6}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{6.5}} - \frac{{30.2x}}{{30}}\\5\left( {7x - 1} \right) = 6\left( {16 - x} \right) - 60x\\35x - 5 = 96 - 6x - 60x\\35x + 6x + 60x = 96 + 5\\101x = 101\\x = 1\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) Phương pháp giải :
Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0). Biểu diễn thời gian xe tải, xe con đi theo x và lập phương trình. Giải phương trình và kiểm tra nghiệm. Lời giải chi tiết :
Gọi quãng đường AB dài x (km) (x > 0). Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ). \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là: \(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ) Vận tốc xe con sau khi tăng thêm 5km/h là: 45 + 5 = 50 (km/h) Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{3}{4}x = \frac{x}{4}\) (km) Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB là: \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (h) Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 2 phút = \(\frac{{49}}{{20}}\)h nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\\\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\7x = 1470\\x = 210(TM)\end{array}\) Vậy quãng đường AB dài 210km. Phương pháp giải :
Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng ax = b: + Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{b}{a}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) \(\begin{array}{l}2x - 2 - mx = 3\\2x - mx = 3 + 2\\(2 - m)x = 5\end{array}\) a) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) vô nghiệm thì: \(2 - m = 0\) suy ra \(m = 2\). Vậy khi m = 2 thì phương trình vô nghiệm. b) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) có nghiệm duy nhất thì: \(2 - m \ne 0\) suy ra \(m \ne 2\). Vậy khi \(m \ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{{2 - m}}\). Phương pháp giải :
a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ b) Chứng minh $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\). c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\left( { = \frac{{AD}}{{AN}}} \right)\) Chứng minh $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\) mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\). Lời giải chi tiết :
a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\) \(\widehat A\) chung suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ (đpcm) b) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\) \(\widehat A\) chung suy ra $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (đpcm) c) Vì DF // NM nên \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}\) Vì DE // HN nên \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}\) suy ra \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta AMH\) có: \(\widehat A\) chung \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) suy ra $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\) Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\)(vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$) Do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (đpcm) Phương pháp giải :
Biến đổi a, b trong phương trình ax = b để tìm x. Sử dụng kiến thức: \(\frac{1}{{a.b}} = \frac{1}{{b - a}}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)\) với b > a Lời giải chi tiết :
Phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) có dạng ax = b với \(a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\) và \(b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\) Ta có: \(\begin{array}{l}a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\\ = \frac{1}{{50}}\left( {\frac{{50}}{{1.51}} + \frac{{50}}{{2.52}} + ... + \frac{{50}}{{10.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{51}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{52}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\end{array}\) \(\begin{array}{l}b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\\ = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{10}}{{1.11}} + \frac{{10}}{{2.12}} + ... + \frac{{10}}{{50.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{12}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5.\frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5a\end{array}\) Phương trình trở thành: \(ax = 5a\) suy ra \(x = 5\). Vậy nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) là \(x = 5\).
|
