Bài 7.11 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 - Cung khám phá

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) $y = {2^x} - {5^x}$

b) $y = \sqrt {x + 3}$

c) $y = x\ln x$

Lời giải chi tiết

a) $y' = \left( {{2^x} - {5^x}} \right)' = {2^x}\ln 2 - {5^x}\ln 5$

$y'' = \left( {{2^x}\ln 2 - {5^x}\ln 5} \right)' = {2^x}\ln 2.\ln 2 - {5^x}\ln 5.\ln 5 = {2^x}{\ln ^2}2 - {5^x}{\ln ^2}5$

b) $y' = \sqrt {x + 3} ' = \frac{{\left( {x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {x + 3} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }}$

$y'' = \frac{{1'.2\sqrt {x + 3}  - \left( {2\sqrt {x + 3} } \right)'.1}}{{{{\left( {2\sqrt {x + 3} } \right)}^2}}} = \frac{{ - 2.\left( {x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {x + 3} }}.\frac{1}{{4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{4\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 3} }}$

c) $y' = \left( {x\ln x} \right)' = x'.\ln x + \left( {\ln x} \right)'.x = \ln x + \frac{1}{x}.x = \ln x + 1$

$y'' = \left( {\ln x + 1} \right)' = \left( {\ln x} \right)' + 1' = \frac{1}{x}$