Bài 11 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $SA \bot (ABC),SA = a\sqrt 2$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

A. $\frac{{6a}}{{11}}$.                  

B. $\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.                       

C. $\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}$.                       

D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}$.

Lời giải chi tiết

Trong (ABC) kẻ $AD \bot BC$

Mà tam giác ABC đều cạnh a nên $AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có $SA \bot BC,AD \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

Mà $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SD$

Trong (SAD) kẻ $AF \bot SD$

Do đó $AF \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AF$

Xét tam giác SAD có

$\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}a$

Vậy $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$

Đáp án B