Bài 11 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(SA \bot (ABC),SA = a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng

A. \(\frac{{6a}}{{11}}\).                  

B. \(\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).                       

C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}\).                       

D. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}\).

Lời giải chi tiết

Trong (ABC) kẻ \(AD \bot BC\)

Mà tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có \(SA \bot BC,AD \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

Mà \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SD\)

Trong (SAD) kẻ \(AF \bot SD\)

Do đó \(AF \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AF\)

Xét tam giác SAD có

\(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}a\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

Đáp án B