Bài 13 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $a$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp $B$.CMND bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$            

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}$.           

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$.                

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}$.

Lời giải chi tiết

Thể tích khối chóp đều cạnh a: $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}$

Ta có $\frac{{{V_{A.BMN}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AB}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Mà ${V_{A.BCD}} = {V_{A.BMN}} + {V_{B.CMND}}$

$\Rightarrow {V_{B.CMND}} = \frac{3}{4}{V_{ABCD}} = \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}$

Đáp án B