Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $AC' = \sqrt 3$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ bằng

A. $\frac{1}{3}$.                   

B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.                          

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.                          

D. $\frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Gọi AC giao BD tại O

Ta có $AC \bot BD,BD \bot AA' \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right);BD \subset \left( {BDC'} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDC'} \right)$

Mà $\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BDC'} \right) = OC'$

Trong (ACCA’) kẻ $AE \bot OC'$

Do đó $AE \bot \left( {BDC'} \right)$

Ta có AB’ // DC’ nên $d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {AB',\left( {BDC'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDC'} \right)} \right) = AE$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {2A{B^2}}  = AB\sqrt 2$

Xét tam giác  ACC’ vuông tại C có

 $\begin{array}{l}A{C^2} + C{{C'}^2} = A{{C'}^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {AB\sqrt 2 } \right)^2} + A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow 3A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow AB = 1\\ \Leftrightarrow AC = \sqrt 2 \end{array}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C có $C'O = \sqrt {C{{C'}^2} + O{C^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$

Dễ dàng chứng minh

$\Rightarrow \frac{{AE}}{{CC'}} = \frac{{AO}}{{C'O}} \Rightarrow AE = \frac{{AO.CC'}}{{C'O}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án B