Trang chủ

Toán 12 Cánh diều | Giải toán lớp 12 Cánh diều

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều

1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Vecto pháp tuyến

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Hoá - Sinh - Sử - Địa

1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

a) Vecto pháp tuyến

Vecto

$\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng

$\left( \alpha \right)$ nếu giá của

$\overrightarrow n$ vuông góc với

$\left( \alpha \right)$ .

b) Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng (P). Hai vecto không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P).

c) Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Nếu hai vecto

$\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})$ ,

$\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$ là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)$ .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ có phương trình là:

$A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$ , với

$D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})$ .

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow u$ , $\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ .

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n$ .

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ .

- Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ .

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n$ .

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,$ với hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ , $\overrightarrow {n'} = (A';B';C')$ tương ứng. Khi đó:

$\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$ .

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Chia sẻ

Bình luận

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Giải mục 1 trang 50, 51, 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Vecto pháp tuyến. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Trả lời câu hỏi trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = (1;2;3)) Giả sử M(x;y;z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7) a) Tính tích vô hướng (overrightarrow n .overrightarrow {AM} ) theo x, y, z b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?
Giải mục 3 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện
Giải mục 4 trang 57,58,59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Trả lời câu hỏi trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là vecto pháp tuyến. Cho điểm ${M_0}(2;3;4)$ . Gọi $H({x_H};{y_H};{z_H})$ là hình chiếu vuông góc của điểm ${M_0}$ trên mặt phẳng (P) (Hình 16) a) Tính tọa độ của $\overrightarrow {H{M_0}}$ theo ${x_H},{y_H},{z_H}$ b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto $\overrightarrow n = (A;B;C)$ , $\overrightarrow {H{M_0}}$ . Từ đó, hãy suy ra rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrighta

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.