Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số \({m_1} > 0,{m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu

Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?

Giải:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:

\(\overline {{x_A}}  = \frac{1}{{60}}(5.7,5 + ... + 5.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)

\(\overline {{x_B}}  = \frac{1}{{60}}(20.7,5 + ... + 20.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)

Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau

Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:

\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(5.7,{5^2} + ... + 5.27,{5^2} - 17,{5^2}}  = 5\)

\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(20.7,{5^2} + ... + 20.27,{5^2} - 17,{5^2}}  \approx 8,42\)

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn