Giải mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

HĐ 3

a) Quan sát điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng $x \le  - a$ hoặc $x \ge a$

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$. Khi đó ta có:

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh $P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).$

+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình $y =  - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x$ được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc hypebol (H) thì $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì $\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le  - a\end{array} \right.$

b) Ta có: $P\left( { - a;b} \right),R\left( {a; - b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR}  = \left( {2a; - 2b} \right)$

Chọn $\left( {b;a} \right)$ là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: $PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0$ hay $PR:y =  - \frac{b}{a}x$

Ta có: $Q\left( {a;b} \right),S - \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS}  = \left( { - 2a; - 2b} \right)$

Chọn $\left( {b; - a} \right)$ là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: $QS:b\left( {x - a} \right) - a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx - ay = 0$ hay $QS:y = \frac{b}{a}x$

Luyện tập

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là ${A_2}\left( {5;0} \right)$ và một đường tiệm cận là $y =  - 3x$

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$. Khi đó ta có:

+ 2 đỉnh là ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)$

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình $y =  - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x$

Lời giải chi tiết:

+ Ta có hypebol có đỉnh ${A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5$

+ Hypebol có đường tiệm cận là $y =  - 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15$

Vậy phương trình hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1$