Giải mục 2 trang 16,17 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính và so sánh:

a) $\int\limits_0^1 {2xdx}$ và $2\int\limits_0^1 {xdx}$;

b) $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}$ và $\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx}$;

c) $\int\limits_0^3 {xdx}$ và $\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\int\limits_0^1 {2xdx}  = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1$, $2\int\limits_0^1 {xdx}  = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1$ nên $\int\limits_0^1 {2xdx}  = 2\int\limits_0^1 {xdx}$

b) Ta có: $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx}  = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}$

Do đó, $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx}$

c) Ta có: $\int\limits_0^3 {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}$; $\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

Do đó, $\int\limits_0^3 {xdx}  = \int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx}$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx}$;

b) $\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx}$;

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ (k là hằng số)

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

Lời giải chi tiết:

a) $\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx}  = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx}  + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx}  = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.$

$= {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi  - \sin 0 = 4{\pi ^2}$

b) $\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx}  = \int\limits_1^2 {{3^x}dx}  - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1$

$= \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2$

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.}$

$= \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3  = 0$

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính $\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}$ $\left( {a < c < b} \right)$.

Lời giải chi tiết:

$\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx}$

$= \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}$

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$. Giả sử nhiệt độ (tính bằng $^oC$) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số $T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12$. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Lời giải chi tiết:

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:

$\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt}  = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.}$

$= \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C$

Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là $24,{5^0}C$.