Giải bài tập 4.11 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v\left( t \right) = {t^2} - t - 6$ (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, tức là tính $\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt}$.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính $\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt}$. 

Lời giải chi tiết

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$ là:

$\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt}  = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right) = \frac{{ - 9}}{2}$

Vậy vật dịch chuyển $\frac{9}{2}m$ trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$.

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

$\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt}  = \int\limits_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  = \int\limits_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  + \int\limits_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  =  - \int\limits_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt}  + \int\limits_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt}$

$=  - \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. + \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right.$

$=  - \left[ {\left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right)} \right] = \frac{{22}}{3} + \frac{{17}}{6} = \frac{{61}}{6}$